سیستم های نمایش اعداد و کد گذاری داده در کامپیوتر

آشناترین سیستم عدد نویسی برای انسان دستگاه عدد نویسی ده دهی است که نشانه های آن اعداد صفر تا نه هستند اما چون در ساختمان رایانه ها، وجود جریان الکتریکی و یا وجود نداشتن جریان الکتریکی مبنا محسوب می شود، مبنای دو ۲ و برخی توان‌های آن یعنی شانزده ۱۶ از کارایی بالایی برخوردار هستند.

در روش عدد نویسی که در محاسبات و علوم روزمره به کار می بریم با ده علامت از صفر تا نه ۹ و ارزشگذاری متفاوت ارقام در محلهای مختلف مثل یکان،دهگان،صدگان و … می توانیم همه اعداد را بخوانیم و بنویسیم. در این سیستم، ارزش هر رقم بستگی به محلی دارد که آن عدد در آن قرار گرفته است و هر مکان ارزشش ده برابر عدد سمت راستش می باشد.مثلا در عدد ۵۹۳۴ ارزش ۰^۱۰×۴ یکان و ۱^۱۰×۳ دهگان، ۲^۱۰×۹ صدگان و ۳^۱۰×۵ هزارگان دارد.

سیستم دو دویی اعداد برای رایانه ها

اگر بخواهیم در رایانه ها و کامپیوترها از سیستم ده دهی استفاده کنیم ما به ده علامت برای ده عدد ریاضی در سیستم ده دهی نیاز داریم و این عمل پیچیدگی هایی را در پیاده سازی سیستم های کامپیوتری و رایانه ها بوجود می آورد که می تواند هم هزینه تولید و ساخت یک رایانه را بالا ببرد و سیستم ما احتمال خطایش بیشتر می شود. به همین علت باید به دنبال سیستمی باشیم تا از کمترین علامت در طراحی آن استفاده شده باشد. ساده ترین حالتی که می شود به کار بست، وجود داشتن یک علامت و یا وجود نداشتن آن است. خوب حالا متوجه شدیم که باید به دنبال روشی باشیم که در آن برای نوشتن اعداد از دو نماد استفاده کنیم . یک نماد برای وجود داشتن و یک نماد برای وجود نداشتن

برای این کار همان روش معمولی عدد نویسی معمولی در یستم ده دهی را پیاده سازی می کنیم، با این تفاوت که ارزش مکانی هر عدد را دو برابر ارزش مکانی عدد سمت راستیش قرار می دهیم‌.

برای نوشتن اعداد در سیستم دودویی اعداد، از دو نماد صفر و یک استفاده می کنیم. مثلا عددی مثل ۱۰۰۱۰ یک عدد در مبنای دو می باشد که ارزش هر عدد دو برار عدد سمت راست آن می باشد. این عدد را در مبنای ده اینگونه محاسبه می کنیم

از یکان عدد دو دویی شروع می کنیم به انجام عملیات و محاسبه:

(یکان ۰ = ۰^۲ × ۰ ) و (دوگان ۱ = ۱^۲ × ۱) و (چهارگان ۰ = ۲^۲ × ۰) و ( هشت گان ۰ = ۳^۲ × ۰) و (شانزده گان ۱۶ = ۴^۲ × ۱) و در آخر حاصل ضرب ها را باهم جمع می کنیم که عدد ۱۸ به دست می آید . پس می توان گفت عدد ۱۰۰۱۰ در مبنای دو می شود عدد ۱۸ در مبنای ده . به عدد در مبنای دو سیستم باینری و یا سیستم دو دویی نیز گفته می شود.

در حالت کلی زمانی که داده ها وارد یک سیستم رایانه ای یا سیستم کامپیوتری می شوند به کدهای دو دویی تبدیل می شوند و زمانی که کار پردازش بر رو داده ها انجام شد خروجی برای ما به شکل سیستم ده دهی نمایش داده می شود.

برای این که یک عدد بر مبنای ۱۰ را به عددی بر مبنای ۲ تبدیل کنیم از تقسیم های متوالی استفاده می کنیم . و عدد مبنای ده را بر عدد دو تقسیم می کنیم و این تقسیم را تا جایی ادامه می دهیم که خارج قسمت کوچکتر از مبنی شود مانند تبدیل عدد ۱۸ در مبنای ده به مبنای دو . پس شروع می کنیم به تقسیم عدد هجده بر عدد دو . ۹ = ۲ / ۱۸ و باقیمانده صفر می شود. عدد صفر باقیمانده را به عنوان عدد یکان دو دو یی می نویسیم و بعد تقسیم را با قسیم عدد ۹ بر ۲ ادامه می دهیم که خارج قسمت می شود ۴ و باقیمانده می شود ۱ پس یک رو به عنوان دوگان عدد بر مبنای دوی خود می نویسیم و تقسیم را ادامه می دهیم با تقسیم ۴ بر ۲ که خارج قسمت می شود ۲ و باقیمانده صفر پس صفر به عنوان چهارگان عدد در مبنای دو قرار می گیرد و تقسیم را با تقسیم ۲ بر ۲ ادامه می دهیم که هارج قسمت می شود ۱ و باقیمانده صفر می شود . باقیمانده را به عنوان عدد هشتگان دودویی خود می نویسیم و چون خارج قسمت کوچکتر از مبنا است تقسیم را متوقف می کنیم و خارج قسمت را که یک می شود به عنوان عدد شانزده گان مبنای دو قرار می دهیم که عدد ۱۸ می شود ۱۰۰۱۰ بر مبنای دو.

عملیات پردازش در سیستم دو دویی مانند قوانین کلی محاسبات معمولی است مثلا جمع دو عدد ۱۰۰۱ و ۱۰۱۱ در مبنای دو به این صورت است. ۱۰۱۰۰ = ۱۰۰۱ + ۱۰۱۱ توجه داشته باشید که در جمع اعداد دو دویی ۱+۱ می شود ۱۰، به همین علت صفر نوشته می شود و عدد یک به عدد بعدی یعنی دوگان اضافه می شود . در دوگان هم ۰+۱+۱ می شود ۱۰ که باز صفر نوشته می شود و عدد یک به عدد بعدی یعنی چهارگان منتقل می شود . در چهار گان ۰+۰+۱ می شود ۱ که همین یک نوشته می شود به عنوان چهارگان جواب ، و در آخر هشتگان ها را با هم جمع می کنیم ۱+۱ که جواب آن می شود ۱۰ و چون دیگر عدد نداریم صفر ۱۰ را به عنوان هشتگان جواب و یک آن را به عنوان شانزده گان می نویسیم که می شود عدد ۱۰۱۰۰ .

در تفریق اعداد در سیستم دو دوی هم به همین شکل پردازش می شود مثل تفریق اعداد دو دویی ۰۱۱۱۰ = ۰۰۱۰۱ – ۱۰۰۱۱ . در این عدد ۱۰۱ از ۱۰۰۱۱ کم شده است . به جای گان های خالی در عدد ۱۰۱ صفر می گذاریم . یکان یک را از یکان ۱ کم می کنیم که می شود صفر و به عنوان یکان جواب می نویسیم بعد دوگان صفر را از دوگان ۱ عدد سمت چپ تفریق کم می کنیم که می شود یک و به عنوان دوگان جواب می نویسیم . بعد چهار گان که عدد یک می باشد را از چهارگان عدد سمت چپ تفریق که صفر است را کم می کنیم و چون عدد سمت راست بزرگتر از عدد سمت چپی تفریق می باشد از عدد قبلی یعنی هشتگان یک واحد قرض می کنیم و چون عدد هشتگان نیز صفر است یک واحد از شانزدهگان به هشتگان می دهیم و شانزده گان ما صفر می شود و چون هر عدد نصبت به عدد سمت راست خود ۲ واحد محسوب می شود عدد هشتگان ما ۲ خواهد شد و هشتگان یک واحد به چهارگان قرض می دهد که خودش یک و چهارگان ما دو می شود به حالا تفریق را ادامه می دهیم ، چهارگان عدد سمت راست که یک است از چهار گان عدد سمت چپ که دو است کم شده و که یک می شود را به عنوان چهارگان جواب می نویسیم. در ادامه صفر هشتگان عدد سمت راست را از یک هشتگان عدد سمت چپ کم می کنیم و هشتگان جواب ما می شود یک در ادامه چون هر دو شانزدهگان ما صفر شده است، یک صفر به عنوان شانزدهگان جواب قرار می دهیم که جواب می شود عدد دو . تبدیل اعداد دو دو دویی را می توان با این فرمول انجام داد : اعداد دو دویی از سمت راست اندیس می گیرند و اندیس آن از صفر شروع می شود . هر عدد دو دویی را از سمت چپ می نویسیم و ضرب در ۲ به توان همان اندیس عدد می کنیم . مثلا عدد ۱۰۱۰۰ را که در مبنای ۲ هست را می خواهیم به مبنای ده با این فرمول ببریم. ابتدا از سمت چپ عدد ۱ را انتخاب کرده و در ۲ به توان ۴ که اندیس آن عدد هست ضرب می کنیم . ۱۶ = ۲۴ × ۱ . به همین ترتیب پیش می رویم تا آخرین عدد در سمت راست با اندیس صفر. ۰ = ۲۳ × ۰ ، ۴ = ۲۲ × ۱ ، ۰ = ۲۱ × ۰ ، ۰ = ۲۰ × ۰ حال حاصل ضربها را باهم جمع می کنیم ۲۰ = ۰ + ۰ + ۴ + ۰ + ۱۶ . عدد دو دویی _۲(۱۰۱۰۰) میشود عدد در مبنای ده _۱۰(۲۰).